Розв’язування задач за допомогою рівнянь
Схема розв'язування задач за допомогою рівнянь
Практичне значення рівнянь полягає в тому, що вони дають змогу знайти невідоме значення певної величини, використовуючи якісь математичні закономірності. Особливо яскраво це проявляється при розв'язуванні текстових задач, кожна з яких є окремою ситуацією в природі або в діяльності людини.
Нам вже доводилося не раз розв'язувати задачі, до яких потрібно скласти рівняння. Давайте згадаємо, які етапи для цього потрібні.
Давайте подивимося на прикладах, як використовувати цю схему до розв'язування різних типів задач.
Задачі на суму частин
Це такі задачі, в яких відома ціла величина, і як залежать її частини одна від одної. При розв'язуванні цих задач позначаємо змінною ту частину, яка пов'язана з іншими.
Приклад 1
Задача
Дріт завдовжки \(465\,\text{м}\) розрізали на три частини, причому перша частина у \(4\) рази довша за третю, а друга на \(114\,\text{м}\) довша за першу. Знайдіть довжину кожної частини дроту.
Розв'язання:
Крок 1. Уважно прочитавши умову задачі, визначаємо, що найкоротша (і пов'язана з іншими) частина — третя. Позначимо її довжину \(\color{#008000}{x}\).
Крок 2. Тоді довжина першої частини буде дорівнювати \(\color{#1E90FF}{4x}\), а другої — \(\color{#FF8C00}{4x+114}\).
Крок 3. Знаючи загальну довжину, складаємо рівняння: \[\color{#1E90FF}{4x}+\color{#FF8C00}{4x+114}+\color{#008000}{x}=465\,.\]
Крок 4. Розв'язуємо отримане рівняння: \[4x+4x+114+x=465\,,\]
\[9x+114=465\,,\]
\[9x=465-114\,,\]
\[9x=351\,,\]
\[x=351:9\,,\]
\[x=39\,.\] Отже, довжина третьої частини — \(39\,\text{м}\).
Крок 5. Знайдемо довжини інших частин. Першої: \(4 \cdot 39 = 156\,(\text{м})\). І другої: \(156+114=270\,(\text{м})\).
Відповідь: \(156\,\text{м}\), \(270\,\text{м}\), \(39\,\text{м}\).
Приклад 2
Задача
За три дні яхта капітана Врунгеля подолала \(222\,\text{км}\), причому за другий день вона подолала \(\frac{7}{8}\) відстані, пройденої за перший день, а за третій — \(90\%\) того, що пройшла за перший. Скільки кілометрів проходила яхта кожного дня?
Розв'язання:
Крок 1. Уважно прочитавши умову задачі, визначаємо, що пов'язана з іншими величина — шлях за перший день. Позначимо його \(\color{#008000}{x}\).
Крок 2. Тоді шлях за другий день буде дорівнювати \(\color{#1E90FF}{\frac{7}{8}x}=\color{#1E90FF}{0{,}875x}\), а за третій — \(\color{#FF8C00}{0{,}9x}\).
Крок 3. Знаючи загальну відстань, що подолала яхта, складаємо рівняння: \[\color{#008000}{x}+\color{#1E90FF}{0{,}875x}+\color{#FF8C00}{0{,}9x}=222\,.\]
Крок 4. Розв'язуємо отримане рівняння: \[x+0{,}875x+0{,}9x=222\,,\]
\[2{,}775x=222\,,\]
\[x=222:2{,}775\,,\]
\[x=80.\] Отже, шлях за перший день — \(80\,\text{км}\).
Крок 5. Знайдемо інші шляхи. За другий день: \(\frac{7}{8} \cdot 80 = 70\,(\text{км})\). За третій: \(0{,}9 \cdot 80 = 72\,(\text{км})\).
Відповідь: \(80\,\text{км}\), \(70\,\text{км}\), \(72\,\text{км}\).
Задачі на швидкість виконання роботи
В задачах подібного типу потрібно складати рівняння із виразами для кількості виконаної роботи за одиницю часу.
Приклад 3
Задача
Перший робітник за \(5\,\text{год}\) виготовив стільки ж деталей, скільки другий за \(7\,\text{год}\). Скільки деталей виготовляв за \(1\,\text{год}\) перший робітник, якщо відомо, що він робив за \(1\,\text{год}\) на \(4\) деталі більше, ніж другий?
Розв'язання:
Крок 1. Позначимо через \(x\) кількість деталей, що виготовляє кожний із робітників за свій час.
Крок 2. Тоді за одну годину перший робітник буде виготовляти \(\color{#008000}{\frac{x}{5}}\) деталей, а другий — \(\color{#1E90FF}{\frac{x}{7}}\) деталей.
Крок 3. Знаючи, що за годину перший виготовляє на \(4\) деталі більше за другого робітника, складаємо рівняння: \[\color{#008000}{\frac{x}{5}}-\color{#1E90FF}{\frac{x}{7}}=4\,.\]
Крок 4. Розв'язуємо отримане рівняння: \[\frac{x}{5}-\frac{x}{7}=4\,,\]
\[\frac{7x}{35}-\frac{5x}{35}=4\,,\]
\[\frac{2x}{35}=4\,,\]
\[2x=4\cdot35\,,\]
\[2x=140\,,\]
\[x=140:2\,,\]
\[x=70\,.\]
Отже, перший робітник за \(5\,\text{год}\) виготовляє \(70\) деталей.
Крок 5. Знайдемо, скільки деталей виготовляє перший робітник за одну годину. \(70:5=14\,(\text{дет.})\).
Відповідь: \(14\,\text{дет.}\)
Задачі на рух
При розв'язуванні задач на рух, у багатьох випадках, зручно другий крок алгоритму наводити у вигляді такої таблиці:
|
|
швидкість |
шлях |
час |
|
1 -й вид руху |
|
|
|
|
2-й вид руху |
|
|
|
При заповненні таблиці використовуємо відомі нам відношення між величинами, що характеризують рух: часом, швидкістю та шляхом.
Розглянемо таку задачу:
Приклад 4
Задача
Відстань від одного міста до іншого легковий автомобіль долає на \(1\,\text{год}\) швидше, ніж автобус. Обчисліть цю відстань, якщо швидкість легкового автомобіля дорівнює \(80\,\text{км/год}\), а швидкість автобуса — \(60\,\text{км/год}\).
Розв'язання:
Крок 1. Позначимо через \(x\) шукану відстань. Вона є пройденим шляхом для автомобіля та для автобуса.
Крок 2. Заповнимо таблицю, врахувавши, що час знаходимо, поділивши шлях на швидкість:
|
|
швидкість |
шлях |
час |
|
автомобіль |
\(80\) |
\(x\) |
\(\frac{x}{80}\) |
|
автобус |
\(60\) |
\(x\) |
\(\frac{x}{60}\) |
Крок 3. Знаючи, що автобусу потрібно на \(1\,\text{год}\) більше часу, складаємо рівняння: \[\frac{x}{60}-\frac{x}{80}=1.\]
Крок 4. Розв'язуємо отримане рівняння: \[\frac{8x}{480}-\frac{6x}{480}=1\,,\]
\[\frac{2x}{480}=1\,,\]
\[2x=480\,,\]
\[x=480:2\,,\]
\[x=240\,.\]
Отже, шукана відстань становить \(240\,\text{км}\).
Відповідь: \(240\,\text{км}\)
Схема розв'язування задач за допомогою рівнянь