Ділення раціональних чисел

Означення частки раціональних чисел

Ділення є дією, оберненою до множення. Тому, у випадку, коли компонентами дії ділення є раціональні числа, саму дію означують через дію множення. Давайте розглянемо (і вивчимо напам'ять) це означення:

Часткою раціональних чисел \(a\) і \(b\)  \(\left(b\ne0\right)\)
називають таке раціональне число \(x\), добуток якого із числом \(b\) дорівнює числу \(a\).

Означення ділення раціональних чисел не відрізняється від того, яке ми вчили для додатних чисел. Розглянемо, про що ж воно говорить.

Часткою чисел \(\color{#4682B4}a\) і \(\color{#6B8E23}b\) ми називаємо як саму дію \(\color{#4682B4}a:\color{#6B8E23}b\), так і число \(\color{#FF6347}x\), яке отримуємо у її результаті:

\[\color{#4682B4}a:\color{#6B8E23}b=\color{#FF6347}x\]

\(\color{#4682B4}a:\color{#6B8E23}b\) — частка, і число \(\color{#FF6347}x\) — теж частка цих чисел. Але тільки тоді, коли \(\color{#FF6347}x\cdot\color{#6B8E23}b=\color{#4682B4}a\).

Справді, це видно із простого прикладу: \(\color{#4682B4}8:\color{#6B8E23}4=\color{#FF6347}2\), а (з означення частки) \(\color{#FF6347}2\cdot\color{#6B8E23}4=\color{#4682B4}8\). Якщо число \(\color{#FF6347}2\) замінити на якесь інше, у результаті множення отримаємо не \(\color{#4682B4}8\).

Іншими словами:

Знайти частку двох раціональних чисел \(\color{#4682B4}a\) і \(\color{#6B8E23}b\), означає знайти третє число \(\color{#FF6347}x\), таке, що \(\color{#FF6347}x\cdot\color{#6B8E23}b=\color{#4682B4}a\)

Чому зазначено \(b\ne0\)? Все просто! На нуль ділити не модно не можна.

Давайте виконаємо декілька завдань для самоперевірки засвоєння цих фактів. Кнопку "Показати відповідь" тисніть тільки тоді, коли запишете її на аркуші. Не сачкуйте!

Завдання 1.

Як записати виразом "частка чисел \(m\) і \(n\)"?

\(m:n\)


Завдання 2.

Як записати виразом "число \(y\) є часткою чисел \(x\) і \(k\)"?

\(x:k=y\) або \(y=x:k\)


Завдання 3

Що означає "число \(p\) є часткою чисел \(t\) і \(d\)"?

\(p\cdot d=t\)


Сподіваюся, завдання були зовсім не складні, а означення зрозуміле і вивчене напам'ять. Йдемо далі!

Як ділити раціональні числа

Дію ділення, як і всі інші дії з раціональними числами, виконуємо в два кроки: 1) визначаємо, який буде знак результату; 2) виконуємо дію з модулями.

 

Вчимося визначати знак

Для того, щоб з'ясувати, що робити зі знаком, згадаємо наступне:

Щоб поділити одне число на інше, можна ділене помножити на число, обернене до дільника

Звідси робимо висновок: при діленні раціональних чисел знак результату визначаємо так само, як при їх множенні! Сформулюємо і запам'ятаємо (вивчимо):

  • При діленні двох від'ємних чисел у результаті отримуємо "+"
  • При діленні двох чисел з різними знаками у результаті отримуємо "—"

Все просто: "плюс" на "мінус" дає "мінус", "мінус" на "мінус" дає "плюс". На практиці можна використовувати це спрощене "правило". Подивимось на прикладах:

Приклад 1

Який знак частки  \(-28:2\) ?
Маємо від'ємне ділене і додатного дільника. При діленні двох чисел з різними знаками результат від'ємний.

Відповідь: "мінус".

 

Приклад 2

Якого знаку має результат дії \(-18:(-36)\) ?

Розв'язання:

В даному прикладі обидва числа від'ємні, тому результат — додатний.

Відповідь: "плюс".

 

Приклад 3

Порівняйте з нулем значення змінної \(k\), якщо \(k=m:n\), і відомо, що \(m \gt 0\), \(n \lt 0\).

Розв'язання:

Ділене \(m \gt 0\), отже має знак "плюс", а дільник \(n \lt 0\) має знак "мінус". При діленні чисел з різними знаками отримуємо від'ємне число. Будь яке від'ємне число менше за нуля.

Відповідь: \(k \lt 0\).

 

Визначаємо модуль

З модулем результату ще простіше: щоб його дізнатися, треба модуль діленого поділити на модуль дільника. Таким чином, щоб поділити два раціональних числа, треба визначити знак, як при множенні і поділити модулі.

Тепер можемо приступити до виконання ділення раціональних чисел.

Приклад 4

Виконати ділення: \(24:(-8)\)

Розв'язання:

Тут компоненти дії ділення мають різні знаки, тому після "дорівнює" записуємо "мінус". Ділимо модулі: \(24:8=3\)

Отже, \(24:(-8)=-3\). Або можна записати так: \(24:(-8)=-(24:8)=-3\).

Відповідь: \(-3\).

 

Приклад 5

Виконати ділення: \(-12:(-\frac{6}{7})\)

Розв'язання:

Ділене і дільник мають однакові знаки, тому результат — додатний. Залишається поділити модулі.
\(-12:(-\frac{6}{7})=12\cdot\frac{7}{6}=14\)

Відповідь: \(14\).

Розв'яжи на аркуші наступні приклади. Коли отримаєш відповідь, натисни на кнопку "Показати відповідь", щоб перевірити себе.

Завдання 4.

Виконайте ділення: \(-2:8\).

\(-2:8=-0{,}25.\)


Завдання 5.

Виконайте ділення: \(-72:(-6)\).

\(-72:(-6)=12\).


Завдання 6

Знайдіть частку: \(\frac{19}{25}:(-7\frac{3}{5})\)

\[\frac{19}{25}:(-7\frac{3}{5})=-\left(\frac{19}{25}:7\frac{3}{5}\right)=\]\[=-\left(\frac{19}{25}:\frac{38}{5}\right)=-\left(\frac{19}{25}\cdot\frac{5}{38}\right)=\]\[=-\frac{1}{10}=-0{,}1\]


Властивості ділення раціональних чисел

Дія ділення раціональних чисел має лише одну особливість:

Часткою двох раціональних чисел є раціональне число.

Всі інші властивості, притаманні діленню додатних чисел (цілих і дробових) залишаються справедливими і для ділення раціональних чисел. Просто повторимо їх.

1) На нуль ділити не можна

2) \(\color{#4682B4}a:\color{#6B8E23}b=\color{#4682B4}a\cdot\frac{1}{\color{#6B8E23}b}\)

3) \(\color{#FF6347}{0}:\color{#6B8E23}{a}=\color{#FF6347}{0}\)

4) \(\color{#6B8E23}{a}:\color{#FF6347}{1}=\color{#6B8E23}{a}\)

5) \(\left(\color{#6B8E23}{a}\pm\color{#4682B4}{b}\right):\color{#FF6347}{c}=\color{#6B8E23}{a}:\color{#FF6347}{c}\pm\color{#4682B4}{b}:\color{#FF6347}{c}\)

6) \(\left(\color{#6B8E23}{a}\cdot\color{#4682B4}{b}\right):\color{#FF6347}{c}=\left(\color{#6B8E23}{a}:\color{#FF6347}{c}\right)\cdot\color{#4682B4}{b}\)

7) \(\color{#6B8E23}{a}:\left(\color{#4682B4}{b}\cdot\color{#FF6347}{c}\right)=\color{#6B8E23}{a}:\color{#4682B4}{b}:\color{#FF6347}{c}\)

 
 


Last modified: Wednesday, 1 April 2020, 10:58 AM