Середнє арифметичне кількох чисел. Середнє значення величини
Середнє арифметичне
Сьогодні поговоримо про середні значення величин. Ми досить часто зустрічаємося з ними у повсякденному житті, і навіть у школі.
Давайте розглянемо приклад, коли хтось із учнів, що гарно навчається, отримав двійку із математики. Оцінки цього учня:
| \(7~\) | \(\;~~\) | \(2~\) | \(10\) | \(9~\) |
Яка оцінка є середньою у цього учня? Найменша оцінка, яку він отримав — двійка, а найвища — десятка. У числовому ряду посередині між числами \(2\) і \(10\) знаходиться число \(6\). Але ж у нього ще є \(7\) і \(9\). Їх теж потрібно врахувати! Для того, щоб всі оцінки були враховані при виставленні середнього балу, використовують їх середнє арифметичне.
- Середнім арифметичним кількох чисел
- називають частку від ділення суми цих чисел на їх кількість.
Подивимось, як це буде у нашому випадку:
Сума всіх оцінок: \(7+2+10+9=28\). Всього оцінок — \(4\). Отже, маємо \(28\) поділити на \(4\).
\(28:4=7\). Середня оцінка — \(7\). Це вже краще!
Такі дії можна записати так: \(\left(7+2+10+9\right):4=7\). Але, на практиці, частіше використовують такий запис: \[\frac{7+2+10+9}{4}=7.\]
Таким самим чином знаходять середню температуру повітря, середню кількість опадів, середній зріст учнів класу і т.д. Можна перефразувати означення у таке правило:
Настав час розглянути приклади розв'язування завдань і задач із даної теми.
Приклад 1
Знайти середнє арифметичне чисел \(3{,}9;\, 8;\, 9{,}12;\, \text{і}\, 22\).
Розв'язання:
\[\frac{3{,}9+8+9{,}12+22}{4}=\] \[=\frac{43{,}02}{4}=10{,}755.\]
Відповідь: \(10{,}755\).
Напевно, тобі кинувся в очі запис \(\frac{43{,}02}{4}\). Тут є дріб, у чисельнику якого — десятковий дріб. Не лякайся. Просто риска дробу позначає дію ділення. Це саме можна записати у стрічку, використавши дужки: \[\left(3{,}9+8+9{,}12+22\right):4=\] \[=43{,}02:4=10{,}755.\] Виконуй так, як зручніше для тебе. Спробуй самостійно зробити наступне завдання. Щоб перевірити себе, натисни кнопку "Показати відповідь".
Завдання 1.
Знайти середнє арифметичне чисел \(2{,}5;\, 8;\, 2{,}2;\, 3{,}7;\, 12.\)
Завдання 2.
Середнє арифметичне чотирьох чисел дорівнює \(25\). Чому дорівнює сума цих чисел?
Правда, це було легко? Далі подивимось, як середнє арифметичне кількох чисел застосовується до знаходження середніх значень різних величин.
Середнє значення величини
Середнє арифметичне використовують для того, щоб знаходити середні значення різних величин. Вище вже було написано про середню температуру, середній зріст тощо. Давай подивимось на декілька задач, у яких потрібно знаходити середні значення.
Приклад 2
Протягом тижня о 8 год ранку Сашко вимірював температуру повітря. Він отримав такі результати: \[20^\circ \text{C};\,18^\circ \text{C};\, 16^\circ \text{C};\] \[15^\circ \text{C};\, 14^\circ \text{C};\, 17^\circ \text{C};\, 19^\circ \text{C}.\] Знайдіть середнє значення проведених вимірювань.
Розв'язання:
\[\left(20+18+16+15+14+17+19\right):7=\] \[=119:7=17.\]
Отже, середнє значення температури о \(8^{00}\), протягом тижня, становило \(17^\circ \text{C}\).
Відповідь: \(17^\circ \text{C}\).
Далі розглянемо задачу на використання середнього арифметичного для знаходження середнього значення зарплати. Зверніть увагу на те, що декілька працівників отримують однакову зарплату. Тому суму однакових доданків замінюємо добутком.
Приклад 3
В автомайстерні працює \(10\) людей. У двох із них місячна заробітна плата становить \(5700\,\text{грн}\), у чотирьох — \(7000\,\text{грн}\), у трьох — \(7750\,\text{грн}\), а в одного — \(8000\,\text{грн}\). Яка середня зарплата працівників цієї майстерні?
Розв'язання:
Для зручності зробимо собі такий скорочений запис умови задачі:
\(\color{#4682B4}{2}\) роб. — \(5700\) грн;
\(\color{#6B8E23}{4}\) роб. — \(7000\) грн;
\(\color{#FF4500}{3}\) роб. — \(7500\) грн;
\(\color{#8B4513}{1}\) роб. — \(8000\) грн.
Тепер зовсім нескладно записати вираз для знаходження середньої зарплати як середнього арифметичного:
\[\frac{ \color{#4682B4}{2} \cdot 5700+ \color{#6B8E23}{4} \cdot 7000 + \color{#FF4500}{3} \cdot 7500 + 8000}{10}=\]
\[=\frac{69900}{10}=6990\,\text{грн.}\]
Відповідь: \(6990\,\text{грн.}\)
Розглянемо зворотні задачі, коли відоме середнє арифметичне, але не відомі самі числа.
Приклад 4
Середнє арифметичне двох чисел, одне з яких у \(4\) рази менше від другого, дорівнює \(10\). Знайдіть ці числа.
Розв'язання:
Менше число позначимо \(x\), тоді більше буде дорівнювати \(4x\).
Запишемо, що середнє арифметичне цих чисел дорівнює \(10\): \[\left(x+4x\right):2=10.\]
Розв'яжемо отримане рівняння:
\[\left(x+4x\right)=10\cdot 2;\]
\[x+4x=20;\]
\[5x=20;\]
\[x=20:5;\]
\[x=4.\]
Отже, менше із чисел дорівнює \(4\). Знайдемо більше: \(4 \cdot 4 = 16\).
Відповідь: \(4\) і \(16\).
Приклад 5
Математичний гурток відвідують \(7\) хлопчиків, середній вік яких становить \(14\) років, а разом з керівником гуртка їх середній вік дорівнює \(16{,}5\) року. Скільки років керівнику гуртка?
Розв'язання:
Позначимо, що сума років всіх хлопчиків дорівнює \(x\). Тоді їх середнє арифметичне \[x:7=14;\]
звідки знаходимо \[x=7 \cdot 14\]
\[x=98.\]
Всім семи хлопчикам разом \(98\) років.
Позначимо, що керівнику гуртка \(y\) років. Тоді, хлопчикам разом із керівником, \(98+y\) років. Всього є \(8\) осіб. Їх середній вік
\[(98+y):8=16{,}5.\]
Розв'яжемо це рівняння:
\[(98+y):8=16{,}5\,,\]
\[98+y=16{,}5\cdot 8\,,\]
\[98+y=132\,,\]
\[y=132-98\,,\]
\[y=34.\]
Відповідь: \(34\) роки.
Спробуй самостійно зробити наступні завдання. Щоб перевірити себе, натисни кнопку "Показати відповідь".
Завдання 2.
Одне з чисел менше від другого на \(67\), а їх середнє арифметичне дорівнює \(116{,}5\). Знайди ці числа.
Завдання 3.
Сергій виграв у лотерею \(3\) рази по \(50\) грн, \(4\) рази – по \(10\) грн і \(1\) раз – \(200\) грн. Який середній виграш Сергія?
Завдання 4.
Середній вік п’яти дівчат балетної групи становить \(10{,}4\) років. Після того, як до групи прийшла ще одна дівчина, середній вік усіх дівчат у групі став дорівнювати \(10\) років. Скільки років новенькій?
Обчислюємо середню швидкість
Давай розглянемо таку задачу:
Автомобіль \(3\) години рухався зі швидкістю \(62\,\text{км/год}\), а наступні \(2\) години — зі швидкістю \(56\,\text{км/год}\). З якою середньою швидкістю рухався автомобіль?
Як розв'язувати такі задачі? Маємо два значення для швидкості: \(62\,\text{км/год}\) і \(56\,\text{км/год}\). Але з більшою швидкістю автомобіль їхав довше, тому середнє арифметичне швидкостей нам не підходить! Щоб розв'язати подібні задачі, маємо згадати, що швидкість знаходиться діленням шляху на час. Тому запам'ятай таке правило:
Щоб знайти середню швидкість руху,
потрібно весь пройдений шлях поділити на весь час, потягом якого здійснювався рух.
Шлях автомобіля нам у задачі невідомий. Але ми можемо обчислити, який час він пройшов за \(3\) години руху зі швидкістю \(62\,\text{км/год}\), і шлях за \(2\) години руху зі швидкістю \(56\,\text{км/год}\). Сума цих шляхів і дасть нам загальний шлях руху. Знайдемо ці шляхи:
Перший — \(62 \cdot 3 = 186\,\text{(км)}\), і другий — \(56 \cdot 2 = 112\,\text{(км)}\). Весь шлях: \(186+112=298\,\text{(км)}\).
Весь час руху: \(3+2=5\,\text{(год)}\).
Середня швидкість: \(298:5=59{,}6\,\text{(км/год)}\).
Подивимось ще на один приклад:
Приклад 6
Поїзд рухався \(4\) години зі швидкістю \(64\,\text{км/год}\) і \(5\) годин зі швидкістю \(53{,}2\,\text{км/год}\). Знайдіть середню швидкість поїзда на всьому шляху.
Розв'язання:
1) \(64 \cdot 4=256\,\text{(км)}\) — шлях поїзда за перші \(4\) год;
2) \(53{,}2 \cdot 5 =266\,\text{(км)}\) — шлях поїзда за наступні \(5\) год;
3) \(256+266=522\,\text{(км)}\) — загальний шлях поїзда;
4) \(4+5=9\,\text{(год)}\) — загальний час руху;
5) \(522:9=58\,\text{(км/год)}\).
Відповідь: \(58\,\text{(км/год)}\).
Завдання 5.
Автобус їхав \(5\) год зі швидкістю \(72{,}8\) км/год і \(4\) год зі швидкістю \(79{,}1\) км/год. Знайдіть середню швидкість автобуса на всьому шляху.
Щоб знайти середнє арифметичне кількох чисел
потрібно всі ці числа додати, і отриману суму поділити на кількість доданків.