1. Піднесення одночленів до степеня
1.1 Стандартний вигляд одночлена, степінь одночлена (Повторимо те, що вже знаємо)
Щоб успішно засвоїти новий матеріал, давайте повторимо вже вивчену раніше тему. Для цього виконайте завдання, а щоб перевірити себе, натисніть кнопку "Показати відповідь".
Завдання 1.
Який із наведених одночленів записаний у стандартному
вигляді?
\(а) \,\color{#008080}{2x \cdot 3y^7};\; б)
\,\color{#008080}{2x^{3}x^{7}};\;\) \( в)
\,\color{#008080}{2x^{3}y^{7}};\; г) \,\color{#008080}{2x^{3}
\cdot 3x^{7}}\)
Завдання 2.
Вкажіть коефіцієнт кожного одночлена:
\(1) \,\color{#008080}{2x \cdot 3y^7};\; 2)
\,\color{#008080}{2x^{3}x^{7}};\; \) \(3)
\,\color{#008080}{7{,}25x^{3}y^{7}};\; 4)
\,\color{#008080}{4x^{3} \cdot 3x^{7}}\)
Завдання 3.
Вкажіть степінь кожного одночлена:
\(1) \,\color{#008080}{6x^{2}y^{4}};\; 2)
\,\color{#008080}{8n^{3}m^{9}};\; \) \(3)
\,\color{#008080}{\frac{3}{8}x^{9}y^{7}z^{2}};\; 4)
\,\color{#008080}{4x^{3} \cdot 3x^{7}z^{5}}\)
Що ж, повторили, тепер рухаємось далі.
1.2 Піднесення одночлена до степеня
Щоб піднести одночлен до якогось степеня, ми використовуємо знайому нам властивість, яка стверджує, що
Наприклад, коли нам треба було піднести до третього степеня добуток \(7x\), ми робили це так: \[\left(7x\right)^3=7^3x^3=343x^3.\] Але ж \(7x\), — це одночлен! Тому ми можемо використовувати це правило, щоб підносити до степеня одночлени. Тільки сформулюємо його зручніше:
Щоб піднести до степеня одночлен,
слід піднести до цього степеня кожний множник одночлена і знайдені степені перемножити.
Щоб уникнути плутанини, робимо це наступним чином:
Схема піднесення одночлена до степеня:
- кожен множник одночлена підноситься до степеня окремо;
- показники змінних (букв) перемножаються на показник степеня, до якого треба піднести одночлен.
Розглянемо весь хід виконання такого завдання на конкретному прикладі:
Приклад 1
Виконайте піднесення до степеня \(\left(4a^2b\right)^3.\)
Розв'язання:
Виконуємо перший крок схеми (підносимо до третього степеня кожен множник):
\(\left(\color{#FF8C00}{4}\color{#1e90ff}{a^2}\color{#FF0000}{b}\right)^\color{#008080}{3}=\color{#FF8C00}{4}^\color{#008080}{3}\left(\color{#1e90ff}{a^2}\right)^\color{#008080}{3}\color{#FF0000}{b}^\color{#008080}{3}\)
Виконуємо другий крок схеми: перемножаємо показники \(2\cdot 3\) змінної \(a\), та \(1\cdot 3\) змінної \(b\). Заодно обчислимо \(4^3=64\).
\(\color{#FF8C00}{4}^\color{#008080}{3}\left(\color{#1e90ff}{a^2}\right)^\color{#008080}{3}\color{#FF0000}{b}^\color{#008080}{3}=\color{#FF8C00}{64}\color{#1e90ff}{a^6}\color{#FF0000}{b^3}\)
Разом це виглядає так:
\(\left(4a^2b\right)^3=4^3\left(a^2\right)^3 b^3 = 64a^6b^3\)
Відповідь: \(64a^6b^3\).
Розглянемо ще декілька прикладів:
Приклад 2
Перетворіть в одночлен стандартного вигляду вираз \(\left(16x^6y^7z^8\right)^2.\)
Розв'язання:
\(\left(16x^6y^7z^8\right)^2=16^2\left(x^6\right)^2\left(y^7\right)^2\left(z^8\right)^2=\)
\(=256x^{12}y^{14}z^{16}\).
Приклад 3
Перетворіть в одночлен стандартного вигляду вираз \(\left(1\frac{1}{2}a^8b^9\right)^6.\)
Розв'язання:
\(\left(1\frac{1}{2}a^8b^9\right)^6=\left(\frac{3}{2}\right)^6\left(a^8\right)^6\left(b^9\right)^6=\)
\(=\frac{729}{64}a^{48}b^{54}=11\frac{25}{64}a^{48}b^{54}\).
1.3 Завдання для самоперевірки
Завдання 4.
Виконайте піднесення до степеня: \(\left(-10m^2y^8\right)^5\).
Завдання 5.
Перетворіть в одночлен стандартного вигляду вираз \(\left(3a^6b^8\right)^4\).
Завдання 6.
Перетворіть в одночлен стандартного вигляду вираз \(\left(-\frac{1}{5}c^6d\right)^4\).
Сподіваюся, всі завдання виконані правильно.
при піднесенні добутку до степеня кожний множник підносять до степеня й отримані результати перемножують \[\color{#4682b4}{\left(ab\right)^{n}=a^{n}b^{n}}\]