Нерівність трикутника

Сума кутів трикутника (повторення)

Нагадаємо, що ми знаємо про суму кутів трикутника. Для цього треба виконати завдання і перевірити себе, натиснувши кнопку "Показати відповідь".

Нерівність трикутника

Настав час поговорити про сторони трикутника, а точніше, про їх довжини. Візьмемо три відрізки, при чому один із них (червоний) більший за два інших, складених разом (Мал.1):

Якщо спробувати скласти з цих відрізків трикутника, то нічого не вийде! Кінці синього та зеленого відрізків просто не зійдуться в одній точці (Мал. 2).

Цей факт у геометрії відомий як нерівність трикутника і розглядається у вигляді теореми:

Доведення цієї теореми не складне, і досить гарно наведено у підручниках. Тому тут його розглядати не будемо. Але саму теорему потрібно вивчити напам'ять.

Приклад 1

Чи можна скласти трикутника із трьох планок, довжина яких, відповідно дорівнює \(20\,\text{см},\;15\,\text{см}~\text{і}~42\,\text{см?}\,\)

Розв'язання:

Ні, тому, що \(20\,\text{см}+15\,\text{см}\lt42\,\text{см}\), а це суперечить теоремі про нерівність трикутника.

Відповідь: ні.

Приклад 2 (№392)

Чи існує трикутник, одна зі сторін якого на \(2\,\text{см}\) менша від другої та на \(6\,\text{см}\) менша від третьої, а периметр дорівнює \(20\,\text{см}\)?

Розв'язання:

Припустимо, що існує такий трикутник \(NFG\), який задовільняє умові задачі, а саме: \(FG=NG + 2\,\text{см};\;NF=NG + 6\,\text{см}\) і \(P_{\Delta NFG}=20\,\text{см}\).

Запишемо нерівність трикутника для кожної із його сторін: \[FG \lt NG+NF,~~(1)\] \[NF \lt FG+NG,~~(2)\] \[NG \lt FG+NF.~~(3)\]

Периметр даного трикутника

\[P_{\Delta NFG}=FG+NF+NG=\] \[=NG+2+NG+6+NG=\] \[=3NG+8.\]

Отримали рівняння \(3NG+8=20\,\text{см}\). Його розв'язком є значення \(NG=4\,\text{см}\).

Отже, сторона \(NG=4\,\text{см}\). Решта сторін: \(FG=4+2=6\,(\text{см})\); \(NF=4+6=10\,(\text{см})\).

Легко помітити, що \(NF=FG+NG\), тобто не виконується нерівність \(\left(2\right)\). Таким чином, наше припущення неправильне, і такого трикутника не існує.

Відповідь: ні.

Розглянута теорема є науковим відображенням інтуїтивної властивості відстані. Найкоротший шлях між двома точками — відрізок, що сполучає ці точки. У нашій повсякденній мові для цього є дуже гарне слово: навпростець.

Математичний запис відношення "Лежати між"

Теорема про нерівність трикутника має дуже цікавий наслідок:

Цей наслідок є ознакою належності трьох точок одній прямій. Разом з тим, він є і математичним записом відношення "Лежати між" для трьох точок однієї прямої.

Порівняння сторін і кутів трикутника

Нам відомий факт, що проти рівних кутів трикутника лежать рівні сторони. Не складно переконатися на практиці (за допомогою трьох паличок різної довжини) у справедливості наступного твердження:

З доведенням цієї теореми ви теж можете ознайомитися самостійно. Розглянемо декілька прикладів використання цієї теореми до розв'язування задач.

Приклад 3

У трикутнику \(ABC\) \(\angle A=73^\circ\), \(\angle B=64^\circ\). Яка із сторін \(\Delta ABC\) є найбільшою?

Розв'язання:

Знайдемо градусну міру кута \(C\):
За теоремою про суму кутів трикутника \(\angle A+\angle B+\angle C=180^\circ\), звідки \(\angle C = 180^\circ -\left(\angle A + \angle B\right)\); \(\angle C = 180^\circ - \left(73^\circ + 64^\circ\right)\), \(\angle C = 43^\circ\).

Як бачимо, найбільшим із кутів \(\Delta ABC\) є \(\angle A\). Навпроти нього знаходиться найбільша сторона даного трикутника. Це сторона \(BC\).

Відповідь: \(BC\).

Приклад 4

У трикутнику \(ABC\) з периметром \(P_{\Delta ABC}=56\,\text{см}\) сторони \(AB = 17\,\text{см}\), \(AC = 23\,\text{см}\). Який із кутів \(\Delta ABC\) є найбільшим?

Розв'язання:

Знайдемо третю сторону \(BC=P_{\Delta ABC}-\left(AB+AC\right)\).

\(BC=56-(17+23)=16\,\text{(см)}\).

Найбільший кут трикутника лежить навпроти його найбільшої сторони. Найбільша сторона — \(AC\), тому найбільшим кутом є \(\angle B\).

Відповідь: \(\angle B\).

Спробуйте самостійно розв'язати наступні задачі. Для самоперевірки натисніть кнопку "Показати відповідь"