2. Натуральний ряд. Числовий (координатний) промінь

2.1 Натуральний ряд чисел

Якщо записувати натуральні числа від одиниці так, щоб кожне наступне число було більше за попереднє на один, отримаємо таку послідовність: \(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 \text{ і т. д.}\) Цю послідовність називають натуральним рядом чисел.

Таким чином, натуральний ряд — це всі натуральні числа, записані у порядку зростання. Оскільки найбільшого натурального числа не існує, то цей ряд можна продовжувати до нескінченності. 

Легко помітити, що натуральному ряду притаманні наступні властивості: 

  Важливо (властивості натурального ряду):

• Найменше число натурального ряду — число \(1\). Для одиниці попереднього числа не існує.
• Для будь-якого числа знайдеться число, більше за нього на одиницю (наступне число у натуральному ряді).
• Для будь-якого числа, крім \(1\), знайдеться таке, що менше за нього на одиницю (попереднє число у натуральному ряді).
• Натуральний ряд — нескінченний (найбільшого числа не існує).

Як бачите, ці властивості зовсім прості. Тим паче, що останні дві є прямими наслідками з перших двох властивостей.

Слід зазначити, що серед двох чисел, більше із них знаходиться завжди праворуч від меншого у натуральному ряді. Запам'ятайте це.

2.2 Числовий (координатний) промінь

Давайте ще раз подивимось на натуральний ряд:

\(1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15, ...\)

Бачимо, що він нескінченно продовжується праворуч — у сторону збільшення чисел. Ліворуч же він обмежений своїм найменшим членом — одиницею. Це дуже нагадує промінь, який, так  само, має початок і не має кінця.

Дійсно, для ілюстрації натурального ряду використовують числовий промінь. Побудуємо його.

За початок візьмемо точку \(O\), і проведемо промінь вправо від неї:

На деякій відстані від точки \(O\) позначимо на промені точку \(A\). Нехай вона позначає нам число \(1\). Отриманий відрізок \(OA\) — одиничний відрізок:

Далі, зберігаючи відстань такою самою, відкладемо ще точки. Кожній точці поставимо у відповідність "своє" число з натурального ряду: 

В результаті на нашому промені отримали сукупність точок, кожній із яких відповідає натуральне число, та сукупність рівних між собою відрізків, які розділяють натуральні числа із кроком \(1\). Тому ці відрізки називаються одиничними відрізками.

Точці \(O\) поставимо у відповідність число нуль. А щоб показати, що промінь не закінчується числом \(15\), а прямує у нескінченність, — поставимо праворуч стрілку:

Початок числового променя точка \(O\) позначає число \(0\), яке не є натуральним. Ця особлива точка — початок координат. Всі інші точки, що позначають числа, називаються ще координатами, а сам числовий промінь має й іншу назву. Часто його називають координатним променем.

Координати точки записуються у дужках поруч із літерою, яка позначає цю точку. Так. на \(\textit{Мал. 5}\) показано точки \(M(3)\) і \(N(6)\) (читають "Точка \(M\) з координатою три" і "точка \(N\) з координатою шість").

Тепер саме час навести означення числового променя:

Зверніть увагу! У загальному випадку, для того, щоб зробити промінь числовим, достатньо лише позначити на ньому початок відліку та точку, що вказує на число \(1\). Так, на Мал. 6, промінь \(O\) вже є числовим. Але така побудова буде не дуже інформативна, тому прийнято відкладати інші точки, що позначають на промені натуральні числа та вказувати стрілкою напрям збільшення членів натурального ряду.

Розглянемо основні властивості числового променя, які часто використовуються:

  Вивчіть! (властивості числового променя):

• Числовий промінь нескінченний.
• Кожній точці на числовому промені відповідає єдина координата.
• Початок відліку має координату нуль.
• Довжина одиничного відрізка може бути довільною.
• Чим більше число, тим далі від початку відліку воно розміщене на промені (більші числа розміщені правіше від менших).
• Щоб знайти відстань між двома точками за їх координатами, треба від більшої координати відняти меншу координату.

Всі ці властивості, не зважаючи на свою простоту, досить важливі. Ми активно будемо їх використовувати при розв'язуванні тестових завдань і завдань для самостійного розв'язання.

2.3 Чому це так важливо? Шкала (числовий промінь на практиці)

Така простенька тема! І так багато довелось про неї писати... Почуваюся страшенним занудою...

Але, ще раз перечитавши все написане, вирішив нічого не скорочувати. Чому таку увагу приділяю натуральному ряду, а особливо числовому променю? Що ж, настав час пояснити. Річ у тому, що числовий промінь використовується людьми дуже часто. Давайте пригадаємо звичайну лінійку. Користуючись лінійкою, можна креслити відрізки. А ще можна... Правильно! Вимірювати їх довжину. Для цього призначена шкала з поділками та числами, нанесена вздовж всього приладу.

Саме шкала і являє собою частину числового променя. За означенням шкали звернемось до Вікіпедії:

Як бачите, автор статті у Вікіпедії веде мову про числову пряму. Ми ж розглядаємо числовий промінь. Про пряму ми можемо говорити, коли розглядаємо, наприклад, шкалу термометра, у якого поділки розміщені в протилежних напрямках від початку відліку — поділки, що позначає \(0^\circ \text{C}\).

На Мал.8 показано два термометри. Їхні шкали продовжуються від точки \(0\) в обидві сторони. Таку шкалу мають прилади, які призначені для вимірювання величин, що можуть набувати як додатніх (зі знаком «\(+\)»), так і від'ємних (зі знаком «\(-\)») значень. Разом з тим, на цьому малюнку видно, що для зручності шкалу приладу можна розміщувати як завгодно. А на правому термометрі шкалу ще й "зігнули" у дугу. 

Більшість приладів мають шкалу, що починається з позначки \(0\), розміщеної ліворуч, як у лінійки. Але є прилади, що мають складніші шкали. На Мал.9 показано саме таку. Ця шкала являє собою "чотири в одному", причому сама верхня орієнтована справа вліво.

Така складна шкала далеко не виняток. Згадайте, хоча б, циферблат годинника. Він —  теж шкала. При чому дуже хитромудра. По-перше, ця шкала замкнута (кругова шкала). По-друге, одна і та ж поділка має різне значення для годин і хвилин, і навіть тільки для годин у різний час доби.

В наш час на багатьох приладах шкалу замінюють на цифрове табло. Але шкали використовуються надзвичайно широко. І будуть використовуватися завжди.

< Назад     Далі >   

↑До змісту