Добуток різниці та суми двох виразів
Повторимо те, що знаємо
Щоб успішно засвоїти новий матеріал, давайте повторимо вже вивчену раніше тему. Для цього виконайте завдання, а щоб перевірити себе, натисніть кнопку "Показати відповідь".
Завдання 1.
Виконайте множення многочленів
\(\color{#008080}{(3-t)(1+t)}\)
Завдання 2.
Виконайте множення многочленів
\(\color{#008080}{(2a-b)(3ab - 0{,}5b)}\)
Що таке формули скорченого множення
У алгебрі нам дуже часто доведеться виконувати дію множення многочленів. Ця дія досить громіздка, тому, природньо, що виникає бажання якось її скоротити. Як це зробити? Існують спеціальні формули, які так і називаються — формули скороченого множення. Використовуючи їх, не потрібно множити кожен член одного многочлена на кожен член другого многочлена, а потім ще зводити подібні доданки. Достатньо просто скористатися відповідною формулою і одразу записати результат дії.
Що ж собою являють ці формули?
Тут ми познайомимося з однією із них.
Виводимо формулу добутку різниці та суми двох виразів
Розглянемо випадок, коли потрібно помножити многочлен, що є різницею виразів \(\color{orangered}{a}\) і \(\color{#008080}{b}\) на многочлен, що є їх сумою: \[\left(\color{orangered}{a}-\color{#008080}{b}\right)\left(\color{orangered}{a}+\color{#008080}{b}\right).\]
Виконаємо це множення: \[\left(\color{orangered}{a}-\color{#008080}{b}\right)\left(\color{orangered}{a}+\color{#008080}{b}\right)=\color{orangered}{a}^2 + \underline{\color{orangered}{a}\color{#008080}{b}} - \underline{\color{#008080}{b}\color{orangered}{a}} - \color{#008080}{b}^2 =\] \[= \color{orangered}{a}^2 - \color{#008080}{b}^2\]
Отримана тотожність і є формулою, що нам потрібна:
Цю формулу потрібно вивчити напам'ять. Словесно її можна подати у вигляді правила:
Добуток різниці та суми двох виразів
дорівнює різниці квадратів цих виразів
Правило теж потрібно вивчити напам'ять.
Тепер ми можемо при виконанні такого множення одразу записувати результат.
Застосування формули добутку суми та різниці двох виразів
В цій частині уроку розглянемо, як застосовувати дану формулу в різних випадках — від простіших до складніших. Розгляд проведемо на реальних прикладах. Після кожного прикладу — завдання, яке потрібно виконати з повним розв'язанням і перевірити отриману відповідь.
Самий простий приклад (у явному вигляді)
Приклад 1:
Виконайте множення многочленів: \((y-9)(y+9)\).
Розв'язання:
Маємо,вираз, як у формулі, тільки замість \(a\) у нас \(y\), а замість \(b\) — число \(9\):
\((y-9)(y+9)=y^2-9^2=y^2-81\).
Відповідь: \(y^2-81\).
Завдання 3.
Виконайте множення многочленів
\(\color{#008080}{(4-x)(4+x)}\)
Приклад 2:
Виконайте множення многочленів: \((y-9)(y+9)\).
Розв'язання:
\((2x-5y)(2x+5y)=(2x)^2-(5y)^2=\)
\(=4x^2-25y^2\).
Відповідь: \(4x^2-25y^2\).
Завдання 4.
Виконайте множення многочленів
\(\color{#008080}{(3x-5y)(3x+5y)}\)
Доданки у дужках поміняні місцями
Приклад 3:
Виконайте множення многочленів: \((4a-b)(b+4a)\).
Розв'язання:
У перших дужках є різниця \(4a\) і \(b\), а у других — сума цих виразів, тільки доданки поміняні місцями. На результат це ніяк не впливає, адже діє переставна властивість додавання! Тому:
\((4a-b)(b+4a)=(4a-b)(4a+b)=\)
\(=(4a)^2-b^2=16a^2-b^2\).
Відповідь: \(16a^2-b^2\).
Завдання 5.
Виконайте множення многочленів
\(\color{#008080}{(5b-1)(1+5b)}\)
Множники поміняні місцями
Приклад 4:
Виконайте множення многочленів: \((8m+11n)(8m-11n)\).
Розв'язання:
Скористаємось переставною властивістю множення:
\((8m+11n)(8m-11n)=\)
\(=(8m-11n)(8m+11n)=\)
\(=(8m)^2-(11n)^2=\)
\(=64m^2-121n^2\).
Відповідь: \(64m^2-121n^2\).
Завдання 6.
Виконайте множення многочленів
\(\color{#008080}{(y+2a)(y-2a)}\)
Множники і доданки поміняні місцями
Приклад 5:
Виконайте множення многочленів: \((x+3)(3-x)\).
Розв'язання:
\((x+3)(3-x)=(3-x)(3+x)=\)
\(=9-x^2\).
Відповідь: \(9-x^2\).
Завдання 7.
Виконайте множення многочленів
\(\color{#008080}{(2t+5)(5-2t)}\)
Формули скороченого множення —
це поширені випадки множення многочленів.