Спосіб додавання
Привіт! На цьому уроці розглянемо ще один спосіб (і, нарешті, останній) розв'язування систем рівнянь — спосіб додавання. Для багатьох учнів він став улюбленим способом. Поїхали!
Трошки теорії (для тих, кому цікаво)
Даний метод заснований на використанні властивостей рівнянь, що відомі нам із попередніх класів, та використанні одного твердження, що стосується систем рівнянь. А саме:
Переконаємося у правильності цього твердження на прикладі:
Приклад 1
Розглянемо систему рівнянь: \[\begin{cases} 2x+y=6,\\4x-3y=2.\end{cases}\] Вона має розв'язок \(\left(2;\; 2\right)\).
Додамо ліві і праві частини рівнянь системи: \[2x+y+4x-3y=6+2.\] \[6x-2y=8.\]
Замінимо друге рівняння системи на рівняння, яке отримали: \[\begin{cases} 2x+y=6,\\6x-2y=8.\end{cases}\]
Знайдемо розв'язок цієї системи способом підстановки:
З першого рівняння виразимо \(y=6-2x\) та підставимо до другого рівняння: \[6x-2(6-2x)=8.\] Розв'язуємо відносно \(x\). \[6x-12+4x=8,\] \[10x=20,\] \[x=2.\]
Знаходимо значення \(y\): \(y=6-2\cdot 2=2\). Отримали розв'язок системи \(\left(2;\;2\right)\), такий самий, як і першої системи.
Розглянутий приклад демонструє справедливість наведеного твердження. А як же спосіб додавання? Давайте перейдемо до його розгляду.
У чому полягає цей спосіб
Для того, щоб розв'язати систему рівнянь способом додавання, можна скористатися наступним алгоритмом:
Алгоритм розв'язування систем рівнянь способом додавання
- Перетворити одне (або обидва) рівняння системи таким чином, щоб коефіцієнти при одній із змінних були протилежними числами;
- Почленно додати ліві та праві частини рівнянь отриманої системи;
- Розв'язати отримане рівняння з однією змінною;
- Підставити отримане значення змінної до будь-якого рівняння системи;
- Знайти значення другої змінної;
- Записати відповідь.
Подивимось, як використати даний алгоритм до розв'язання системи із Прикладу 1:
Приклад 2
Розв'язати систему рівнянь способом додавання: \[\color{#4682B4}{\begin{cases} 2x+y=6,\\4x-3y=2.\end{cases}}\]
Розв'язання:
Крок 1. Помножимо перше рівняння системи на \(3\): \[\color{#4682B4}{\begin{cases} 2x+y=6,\\4x-3y=2;\end{cases}\;}\color{#6B8E23}{\bigg| \begin{matrix} (\times 3)\\ \,\end{matrix}}\]
У результаті отримали систему \[\color{#4682B4}{\begin{cases} 6x+3y=18,\\4x-3y=2.\end{cases}}\]
Крок 2. Додамо почленно ліві та праві частини рівнянь системи: \[\begin{matrix}\underline{\color{#4682B4}{\begin{cases} 6x+3y=18,\\4x-3y=2;\end{cases}}}\; \color{#6B8E23}{\bigg| \,(+)}\\\color{#4682B4}{10x\;=\;20.}\; \end{matrix}\]
Крок 3. З отриманого рівняння \(\color{#4682B4}{10x=20}\) знаходимо значення \(\color{#4682B4}{x=2}\).
Крок 4. Підставимо отримане значення змінної \(\color{#4682B4}{x}\) до другого рівняння системи: \[\color{#4682B4}{4\cdot2-3y=2.}\]
Крок 5. Розв'яжемо отримане рівняння, щоб знайти значення змінної \(y\): \[\color{#4682B4}{8-3y=2,}\] \[\color{#4682B4}{-3y=-6,}\] \[\color{#4682B4}{y=2.}\]
Крок 6. Ми знайшли значення змінних \(x\) та \(y\), і можемо записати відповідь.
Відповідь: \(\color{#4682B4}{\left(2;\;2\right)}\).
Якщо одне з рівнянь системи замінити на рівняння, отримане шляхом додавання лівих і правих частин рівнянь системи, то отримана система буде мати такі ж розв’язки, що й початкова.