Властивості рівнянь

Раніше ми розв'язували рівняння, використовуючи властивості арифметичних дій та правила знаходження невідомих компонентів цих дій. Але не всі рівняння можна розв'язати у такий спосіб.

Наприклад, розглянемо таке рівняння: \[3x+5=7-6x.\]

У даному випадку змінна \(x\) є компонентом дії у лівій частині, та одночасно, компонентом зовсім іншої дії у правій частині рівняння.

Тут ми розглянемо властивості рівнянь, які дозволять нам розв'язувати і такі випадки

 

Додавання і віднімання числа у частинах рівняння

Спершу згадаємо, що рівняння має дві частини, між якими знаходиться знак "дорівнює". Це означає, що числові значення лівої та правої частин — однакові.  Запишемо це як \[a=b.\]Тому, якщо до лівої частини додати якесь число, і до правої частини додати те саме число, то все одно отримаємо дві рівні частини: \[a+\color{#1e90ff}{c}=b+\color{#1e90ff}{c}.\] Якщо будемо віднімати від обох частин рівняння одне й те саме число, то отримаємо аналогічний результат:  \[a-\color{#1e90ff}{c}=b-\color{#1e90ff}{c}.\]

Таким чином, можемо сформулювати властивість рівняння:

Якщо до обох частин рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, що має такі самі корені, що й дане.

Переконаємось у справедливості цієї властивості на прикладі:

Приклад 1

Розв'язати рівняння: \(3x-17=16\).

Розв'язання:

Перший спосіб (за властивостями дій)

Знаходимо невідоме зменшувальне \(3x\):

\(3x=16+17\),

\(3x=33\),

Невідомий множник

\(x=33:3\),

\(x=11\).

Другий спосіб

Додамо до обох частин рівняння \(\color{#1e90ff}{17}\):

\(3x-17+\color{#1e90ff}{17}=16+\color{#1e90ff}{17}\),

виконаємо додавання: \( \left(-17+\color{#1e90ff}{17}=0 \; \textit{та}\; 16+\color{#1e90ff}{17}=33\right) \). Наше рівняння набуде вигляду:

\(3x=33\),

звідки, як і в першому способі,

\(x=11\).

Відповідь: \(11\).

В обох випадках отримали однаковий корінь рівняння, в чому і мали переконатися.

 

Множення і ділення частин рівняння на одне й те саме число

Для нас є зрозумілим і таке твердження: якщо два однакових числа збільшити або зменшити в однакову кількість разів, то отримаємо знову рівні числа. Математично можна записати так:

Якщо \(a=b\), то \[a\cdot\color{#1e90ff}{c}=b\cdot\color{#1e90ff}{c}\,,\] \[a:\color{#1e90ff}{c}=b:\color{#1e90ff}{c}\,,\quad (c\ne 0)\]

Маємо наступну властивість

Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме (відмінне від нуля) число, то отримаємо рівняння, що має такі самі корені, що й дане.

Цю властивість зручно використовувати, щоб позбутися дробового множника біля невідомого. Покажемо це на прикладі

Приклад 2

Розв'язати рівняння: \(\frac{1}{8}y-3=\frac{3}{4}\).

Розв'язання:

Помножимо ліву і праву частини на \(8\):

\(\color{#008000}{8} \cdot\left(\frac{1}{8}y-3\right)=\color{#008000}{8}\cdot\frac{3}{4}\),

виконуємо множення у лівій частині: \(\color{#008000}{8} \cdot\left(\frac{1}{8}y-3\right)=\)
\(=\color{#008000}{8} \cdot \frac{1}{8}y -\color{#008000}{8} \cdot 3=y-24\),

та у правій:

\(\color{#008000}{8} \cdot \frac{3}{4}=\frac{\color{#008000}{8} \cdot 3}{4}=6\).

Тепер наше рівняння запишеться:

\(y-24=6\),

\(y=30\).

Відповідь: \(30\).

 

Або, навіть так:

Приклад 3

Розв'язати рівняння: \(\frac{13x}{21}+\frac{9x}{14}=-1\)

Розв'язання:

У даному рівнянні маємо два дроби зі знаменниками \(21\) та \(14\). Щоб позбутися цих знаменників, помножимо обидві частини рівняння на їх найменше спільне кратне \(\text{НСК}\left(21,\,14\right)=42\):

\(\color{#008000}{42}\cdot\frac{13x}{21}+\color{#008000}{42}\cdot\frac{9x}{14}=-1\cdot\color{#008000}{42}\).

Після скорочення у лівій частині та множення у правій, маємо:

\(\color{#008000}{2}\cdot13x+\color{#008000}{3}\cdot9x=-42\),

\(26x+27x=-42\),

\(53x=-42\),

\(x=-\frac{42}{53}\).

Зауваження: це саме рівняння можна було розв'язати, виконавши вперед додавання дробів

Відповідь: \(-\frac{42}{53}\).

 

Перенесення доданків з однієї частини рівняння до іншої

Давайте повернемося до рівняння, яке розглядали на самому початку нашого уроку: \[3x+5=7-6x.\]

Нам "заважає" його розв'язати те, що змінна \(x\) присутня в обох частинах. А чи можна зробити так, щоб \(x\) знаходився тільки в одній частині рівняння? Виявляється — можна!

Будь-який доданок рівняння можна перенести з однієї частини до іншої, змінивши його знак на протилежний.

Таким чином, ми можемо перенести доданок \(-6x\) із правої частини до лівої, змінивши його знак. Тобто, він буде записаний у лівій частині як \(+6x\). Те саме можемо зробити із доданком \(5\) — перенесемо його до правої частини зі знаком "мінус". У результаті отримаємо: \[3x+6x=7-5.\] А таке рівняння нам розв'язати зовсім не складно: \[9x=2,\] \[x=\frac{2}{9}\].

На практиці, при розв'язуванні рівнянь, користуються таким правилом:

Всі доданки, що містять невідоме, переносять до лівої частини, а всі доданки без невідомого — до правої. Не забуваємо міняти знаки!

Користуючись цим правилом, спробуйте самостійно виконати наступне завдання. Щоб перевірити себе, натисніть кнопку "Показати відповідь"

Завдання 1.

Розв'язати рівняння: \(16-18x=-25x-12\)

\(-4\)


Остання зміна: пʼятниця, 24 квітня 2020, 14:22