Розв'язування систем лінійних рівнянь методом підстановки
Навіщо нам цей метод
Розглянутий нами раніше графічний метод є не завжди зручним до застосування. Наприклад, якщо координата точки перетину графіків — дробове число. Як її визначити точно? Це не завжди можливо. Та, і сам по собі, процес побудови графіків може бути досить складним і довгим. Щоб уникнути цих незручностей, існують інші методи розв'язування систем рівнянь. Тут ми познайомимося, мабуть, із самим універсальним із них — методом підстановки.
У чому полягає метод підстановки (Занурюємося)
Давайте подивимось на такий приклад. Розв'яжемо систему лінійних рівнянь з двома змінними: \[\begin{cases}2x-3y=2,\\5x+2y=24.\end{cases}\]
Візьмемо перше рівняння \(2x-3y=2\) та виразимо із нього, чому дорівнює змінна \(x\):
\(2x-3y=2\),
\(2x=2+3y\),
\(x=\frac{2+3y}{2}\),
\(\color{#6B8E23}{x}=\color{#6B8E23}{1+1{,}5y}\).
Ми отримали, що змінна \(x\) дорівнює виразу, у якому є змінна \(y\). Математики такий запис називають виразити змінну \(x\) через змінну \(y\).
Тепер візьмемо друге рівняння системи \(5\color{#6B8E23}{x}+2y=24\) та підставимо замість змінної \(x\) той вираз, який отримали:
\(5\left(\color{#6B8E23}{1+1{,}5y}\right)+2y=24\).
Отримали рівняння, яке містить тільки одну змінну \(y\). А такі рівняння ми гарно вміємо розв'язувати ще з 6 класу.
Розкриваємо дужки та виконуємо інші відомі нам перетворення рівнянь:
\(5+7{,}5y+2y=24\),
\(5+9{,}5y=24\),
\(9{,}5y=24-5\),
\(9{,}5y=19\),
\(y=19:9{,}5\),
\(\color{#4682B4}{y}=\color{#4682B4}{2}\).
Тепер ми знаємо значення змінної \(\color{#4682B4}{y}\). Залишається знайти \(\color{#6B8E23}{x}\). Для цього повернемося до виразу \(\color{#6B8E23}{x}=\color{#6B8E23}{1+1{,}5}\color{#4682B4}{y}\), та підставимо до нього замість змінної \(\color{#4682B4}{y}\) її значення \(\color{#4682B4}{2}\).
\(\color{#6B8E23}{x}=\color{#6B8E23}{1+1{,}5}\cdot\color{#4682B4}{2}=1+3=\color{#6B8E23}{4}\).
Отримали пару \(\left(\color{#6B8E23}{4};\,\color{#4682B4}{2}\right)\), яка є розв'язком даної системи. Завдання виконано.
Алгоритм розв'язування систем рівнянь методом підстановки (Виринаємо)
Розглянутий приклад гарно ілюструє хід розв'язування систем лінійних рівнянь методом підстановки. Для того, щоб розв'язувати інші системи цим методом, вивчимо такий алгоритм:
Користуючись цим алгоритмом, можна розв'язувати будь-які системи лінійних рівнянь з двома змінними. Метод підстановки є досить універсальним. Проілюструємо це на прикладах його використання.
Застосування методу підстановки (Вільне плавання)
Почнемо із простішого прикладу.
Приклад 1
Розв'яжіть систему
\(\begin{cases}5a-4b=3,\\2a-3b=11.\end{cases}\)
Розв'язання:
\(\begin{cases}5a-4b=3,\\2a-3b=11.\end{cases}\)
З другого рівняння \(2a-3b=11\) виразимо змінну \(a\) через \(b\):
\(2a=11+3b\),
\(a=5{,}5+1{,}5b\).
Підставимо отриманий вираз у перше рівняння:
\(5\left(5{,}5+1{,}5b\right)-4b=3\),
\(27{,}5+7{,}5b-4b=3\),
\(3{,}5b=-24{,}5\),
\(b=-24{,}5:3{,}5\),
\(b=-7\).
Підставляємо \(-7\) замість змінної \(b\) у вираз для \(a\):
\(a=5{,}5+1{,}5\cdot(-7)=-5\).
Отримали пару \((-5;\,-7)\).
Відповідь: \((-5;\,-7)\).
А тепер подивимось на ось такий приклад:
Приклад 2
Розв'яжіть систему
\(\begin{cases}6x-5y=-38,\\-18x+15y=2.\end{cases}\)
Розв'язання:
\(\begin{cases}6x-5y=-38,\\-18x+15y=2.\end{cases}\)
Уважно подивившись на коефіцієнти біля \(x\) та \(y\), можемо зробити висновок, що вони пропорційні. Дійсно:
\[\frac{6}{-18}=\frac{-5}{15}.\]
Отже, дана система розв'язків не має.
Відповідь: Розв'язків немає.
І, нарешті, розглянемо приклад, в якому нам доведеться виконувати більш складні перетворення.
Приклад 3
Розв'яжіть систему
\(\begin{cases}6-5(x-y)=7x+4y,\\3(x+1)-(6x+8y)=69+3y.\end{cases}\)
Розв'язання:
\[\begin{cases}6-5(x-y)=7x+4y,\\3(x+1)-(6x+8y)=69+3y.\end{cases}\]
Насамперед, розкриємо дужки у кожному із рівнянь. Отримаємо систему
\[\begin{cases}6-5x+5y=7x+4y,\\3x+3-6x-8y=69+3y.\end{cases}\]
У кожному із рівнянь попереносимо доданки із змінними в ліву частину, а доданки без змінних — до правої:
\[\begin{cases}-5x-7x+5y-4y=-6,\\3x-6x-8y-3y=69-3;\end{cases}\]
зводимо подібні доданки у кожному рівнянні:
\[\begin{cases}-12x+y=-6,\\-3x-11y=66.\end{cases}\]
Отримали значно простішу систему, ніж мали спочатку. Розв'яжемо її методом підстановки.
З першого рівняння виразимо \(y=12x-6\). Підставляємо у друге рівняння: \[-3x-11(12x-6)=66,\] \[-3x-132x-66=66,\] \[-135x=0,\] \[x=0.\]
Знаходимо \(y\): \[y=12\cdot 0 -6=-6.\]
Отримали пару значень \((0;\,-6)\).
Відповідь: \((0;\,-6)\).
В останньому прикладі нам довелося виконувати перетворення рівнянь, що входять до складу системи. В результаті кожного перетворення ми отримували нову систему, яка рівносильна даній. Такі перетворення називають перетвореннями системи рівнянь.
Алгоритм розв'язування систем рівнянь методом підстановки
Якщо відповідні коефіцієнти при змінних пропорційні — система розв'язків не має.