Розв'язування деяких особливих рівнянь
У попередніх уроках розділу ми розглянули властивості рівнянь та загальний алгоритм розв'язування рівнянь. В цьому уроці розглянемо, як використовувати ці теми до розв'язування окремих типів рівнянь.
1. Рівняння з невідомим у знаменнику
Бувають рівняння, у записі яких змінна знаходиться у знаменнику дробу. Наприклад, таке рівняння: \[\frac{x-8}{x+2}=\frac{7}{3}.\]
Тут, насамперед, потрібно нагадати, що риска дробу позначає дію ділення, а, отже, знаменник дробу не може дорівнювати нулю. Тобто, при \(x+2=0\) все рівняння стає безглуздим виразом. Значення змінної \(x\), при яких знаменник дробу перетворюється на нуль є недопустимими. Тому, розв'язуючи такі рівняння, є сенс говорити про область допустимих значень (ОДЗ).
- Область допустимих значень —
- це сукупність всіх значень змінної, при яких вираз має зміст.
При розв'язуванні подібних рівнянь перше,що потрібно зробити, це знайти ОДЗ. Шукаємо за такою схемою:
Якщо отримали корінь, що не входить до області допустимих значень, та виключаємо його із розв'язку. У рівнянні, яке розглядаємо, це виглядає так:
Знайдемо ОДЗ рівняння: \(x+2=0,\) звідки \(x=-2\).
ОДЗ: Всі числа, крім \(-2\).
Далі, щоб перетворити наше рівняння, скористаємося основною властивістю пропорції: \[\frac{\color{#008000}{x-8}}{\color{#1E90FF}{x+2}}=\frac{\color{#CD5C5C}{7}}{\color{#FF8C00}{3}},\] \[\color{#FF8C00}{3}(\color{#008000}{x-8})=\color{#CD5C5C}{7}(\color{#1E90FF}{x+2}).\]
Далі розв'язуємо рівняння за розглянутим раніше алгоритмом:
\[3x-24=7x+14,\]
\[3x-7x=14+24,\]
\[-4x=38,\]
\[x=38:(-4),\]
\[x=-9{,}5.\]
Отримали значення змінної, відмінне від \(-2\), а отже, воно належить ОДЗ. Можемо записати відповідь. Відповідь: \(-9{,}5\).
2. Рівняння, у якому добуток дорівнює нулю
Досить часто доводиться розв'язувати рівняння, в яких добуток кількох множників дорівнює нулю. Наприклад, таке рівняння: \[x(x+2{,}8)(x-3{,}5)=0.\] Їх розв'язувати досить просто. Достатньо згадати, що:
Добуток кількох множників дорівнює нулю тоді, коли, принаймні один із множників дорівнює нулю.
У розглянутому рівнянні можливі такі варіанти, кожний із яких теж є рівнянням:
1) рівняння \(x=0,\)
2) рівняння \(x+2{,}8=0,\)
3) рівняння \(x-3{,}5=0.\)
Розв'язком рівняння \(x(x+2{,}8)(x-3{,}5)=0\) будуть корені всіх трьох отриманих рівнянь. Тому потрібно розв'язати кожне із них окремо, а у відповідь записати всі отримані корені.
1) Рівняння \(x=0\) має очевидний корінь \(0\).
2) Розв'язком рівняння \(x+2{,}8=0\) є значення \(x=-2{,}8\).
3) Розв'язком рівняння \(x-3{,}5=0\) є значення \(x=3{,}5\).
Записуємо всі корені до відповіді в порядку зростання, розділяючи їх крапкою з комою. Відповідь: \(-2{,}8;\, 0;\, 3{,}5\).
Приклад 1
Розв'яжіть рівняння \[x(1{,}4x+2{,}1)(18-3x)=0.\]
Розв'язання:
Розв'язок даного рівняння знайдемо із умови, що якійсь із множників дорівнює нулю:
1) \(x=0;\)
2) \(1{,}4x+2{,}1=0,\)
\(1{,}4x=-2{,}1,\)
\(x=-2{,}1:1{,}4,\)
\(x=-1{,}5;\)
3) \(18-3x=0,\)
\(3x=18,\)
\(x=6.\)
Відповідь: \(-1{,}5;\,0;\,6\).
3. Рівняння з модулем (містить змінну під знаком модуля)
Останній тип особливих рівнянь, які розглянемо, будуть рівняння, що містять невідоме під знаком модуля. Почнемо з найпростішого. Наприклад, \[\left|x\right|=3.\]
Очевидно, це рівняння має розв'язки \(x=3\) та \(x=-3\), оскільки \(\left|3\right|=3\) і, так само, \(\left|-3\right|=3\). Тому у відповідь записуємо обидва значення. Відповідь: \(-3;\,3\).
Розглянемо складніший випадок, коли під знаком модуля знаходиться вираз, що містить змінну.
Розв'яжемо таке рівняння: \[\left|1{,}8x-2{,}4\right|=1{,}2.\]
Вираз під знаком модуля так само може набувати як від'ємного, так і додатного значення. Тому слід розв'язати два рівняння:
1) \(1{,}8x-2{,}4=1{,}2,\)
\(1{,}8x=1{,}2+2{,}4,\)
\(1{,}8x=3{,}6,\)
\(x=3{,}6:1{,}8,\)
\(x=2\)
та рівняння
2) \(1{,}8x-2{,}4=-1{,}2,\)
\(1{,}8x=-1{,}2+2{,}4,\)
\(1{,}8x=1{,}2,\)
\(x=1{,}2:1{,}8,\)
\(x=\frac{2}{3}.\)
Відповідь: \(\frac{2}{3};\, 2\).
Схема визначення ОДЗ