Рівняння. Корені рівняння
Ми знайомі з рівняннями ще з початкової школи. Нам відомо, що це не просто "приклади з іксами". Рівняння мають свої властивості та прийоми розв'язування.
Насамперед, нагадаємо, що називається рівнянням:
- Рівняння —
- це рівність, яка містить невідоме число, позначене буквою.
При розв'язуванні рівнянь важливо пам'ятати, що:
Букву, яка позначає невідоме число у рівнянні, називають змінною рівняння, або просто невідомим. Змінна може набувати різних числових значень, але не всі вони перетворюють рівняння у правильну рівність.
- Корінь рівняння —
- це значення невідомого, яке перетворює рівняння на правильну рівність.
Давайте розглянемо декілька прикладів рівнянь, щоб згадати, що ми знаємо про корені рівняння та те, як їх знаходити.
Приклад 1
Розв'язати рівняння: \(3x+2=14\)
Розв'язання:
Такі рівняння ми вміємо розв'язувати ще з попередніх класів. Для цього розглянемо його запис, як суму доданків \(3x\) та \(2\):
\(\color{green}{3x}+2=14\). Доданок \(\color{green}{3x}\) — вважаємо за невідомий вираз, значення якого будемо шукати в першу чергу (говорять "розв'язуємо відносно \(\color{green}{3x}\)"). Знаходимо, як невідомий доданок:
\(\color{green}{3x}=14-2\),
\(3\color{green}{x}=12\). У цьому виразі у нас невідомий множник \(\color{green}{x}\). Знаходимо його (говорять "розв'язуємо відносно \(\color{green}{x}\)"):
\(\color{green}{x}=12:3\),
\(\color{green}{x}=4\). Шуканий корінь рівняння: \(4\).
Відповідь: \(4\).
А тепер подивимось такий приклад:
Приклад 2
Розв'язати рівняння: \(0 \cdot x + 3 = 5\).
Розв'язання:
Дане рівняння не має жодного кореня. Дійсно, помноживши нуль на будь-яке число, отримаємо нуль. \(0+3=3\), а \(3\neq5\).
Відповідь: коренів немає.
Ще один приклад, і робимо важливий висновок щодо коренів рівняння.
Приклад 3
Розв'язати рівняння: \(\left(x-3\right) \cdot x = 0\).
Розв'язання:
Дане рівняння має два корені: \(3\) та \(0\). Вони обидва перетворюють рівняння у правильну рівність (перевірте самостійно)
Відповідь: \(0\); \(3\).
Настав час зробити висновок щодо коренів рівняння:
Рівняння може мати:
- один корінь,
- декілька коренів,
- не мати жодного кореня
Тому, на відміну від молодших класів, ми будемо говорити, що:
- Розв'язати рівняння —
- означає знайти всі його корені або довести, що коренів немає.
В ході розв'язування рівнянь доводиться користуватися різними способами перетворення виразів, зокрема розкриттям дужок та зведенням подібних доданків.
Перед тим, як перейти до властивостей рівнянь, давайте повторимо, як розв'язувати рівняння, які нам вже відомі:
Приклад 3
Розв'язати рівняння: \(-7x+4x-8x=-9{,}9\).
Розв'язання:
У лівій частинні рівняння можемо звести подібні доданки \(-7x\), \(4x\) та \(-8x\):
\(-11x=-9{,}9\, ,\)
Далі знаходимо \(x\), як невідомого множника:
\(x=-9{,}9:\left(-11\right)\,,\)
\(x=0{,}9\,.\)
Відповідь: \(0{,}9\).
Приклад 4
Розв'язати рівняння: \(9(x-1)-x=15\).
Розв'язання:
Розкриваємо дужки у лівій частині:
\(9x-9-x=15\,,\)
зводимо подібні доданки \((9x\) і \(-x)\):
\(8x-9=15\,,\)
розв'язуємо відносно \(8x\):
\(8x=15+9\,,\)
\(8x=24\,,\)
і, нарешті, знаходимо
\(x=24:8\,,\)
\(x=3\,.\)
Відповідь: \(x=3\).
Будь-яке рівняння обов'язково має дві частини — ліву та праву. Їх розділяє знак "дорівнює".