1. Функція. Способи задання функції

1.1 Що таке функція. Аргумент та значення функції

Функція — дуже важливе поняття не тільки у математиці, а і в науці взагалі.

Тут ми побачимо, що розібратися з таким серйозним терміном насправді досить легко. Більше того, дізнаємося, що з функціями ми зустрічаємося щодня. І просто у житті, а не тільки на уроках математики.

Саме про це і говорить означення функції, яке ми тут наведемо:

Спокійно. Не розбігаємось! Як я і обіцяв, — усе дуже просто. Самі переконаєтесь, коли зовсім скоро дійдемо до пункту 1.2.

Але спочатку подивимось на декілька прикладів функцій: \(y=3x\),  \(y=x+2\),   \(y=5x-2\).

У кожному з цих прикладів, підставляючи замість буковки \(x\) різні числа, отримаємо різні числові значення для буковки \(y\). Це якраз і означає, що змінна \(y\) залежить від змінної \(x\).

Змінну \(x\) при цьому називають незалежною змінною. Ще цю незалежну змінну називають  аргументом функції. Залежну змінну \(y\) називають значенням функції, або просто функцією.

Всі допустимі значення аргументу утворюють область визначення функції, а всі допустимі значення — область значень функції.

1.2 Способи задання функції

Словесний опис

У повсякденному житті, зазвичай, обходяться без всяких математичних виразів для того, щоб вказати залежність між певними величинами. Наприклад, якщо на ціннику в магазині написано «32 грн. / 1 кг»,  то ми чудово розуміємо, що за два кілограми цього товару потрібно заплатити 64 грн., за три — 96 грн., і т.д. Інформація, яку доносить до нас цінник: «Ціна товару – 32 грн. за один кілограм», якраз і є прикладом словесного опису функції.

Математична формула (аналітичне задання функції)

Якщо у прикладі з цінником з попереднього пункту позначити суму за товар \(y\), а кількість кілограмів – \(x\), то отримаємо вираз \(y=32x\). Цю ж залежність ми задали математичною формулою. Або, ще кажуть, — аналітично.

Часто, коли говорять, що \(y\) є функцією від змінної \(x\), це записують як \(y=f(x)\). Тут запис \(f(x)\) означає якийсь математичний вираз, що містить змінну \(x\).

Задання функції таблицею значень (табличне задання)

Для цієї ж функції можна побудувати таблицю:

Це і є приклад табличного задання функції. Тут кожному значенню ікса відповідає своє єдине значення ігрека.

Графічне задання функції 

Для даних нашої таблиці можна побудувати графік функції \(y=32x\) у прямокутній системі координат.

Тут, при нагоді, згадаємо, що

Це теж задання функції. Користуючись графіком, можна знайти її значення (координата \(y\)) для певного значення аргументу (координата \(x\)).

Наприклад, щоб знайти вартість \(2{,}5\) кг, піднімемось від значення \(2{,}5\) на осі \(Ox\) до графіка функції, а потім, з точки на графіку, опустимо перпендикуляр на вісь \(Oy\). Отримана координата \(y=80\) і є значенням даної функції для аргументу \(x=2{,}5\). Тобто за \(2{,}5\) кг нашого товару потрібно заплатити \(80\) грн.

Усі описані способи є абсолютно правильними й задають одну і ту саму функцію. В повсякденному житті ми дуже часто маємо справу з словесно заданими функціями, і навіть не помічаємо цього — тут найзручнішим є саме цей спосіб.  В інших випадках простіше побудувати таблицю значень якоїсь функції, та користуватися нею. Графічний спосіб є надзвичайно інформативним для дослідження "поведінки" функції в залежності від значень аргументу. В алгебрі незамінним є аналітичний спосіб, тобто задавати функцію математичною формулою. 

Всі ці способи є надзвичайно важливими. І на практиці часто доповнюють один одного.

↑До змісту    Наступна тема >