2. Функція. Область визначення функції

2.1 Область визначення функції

Для багатьох функцій можна знайти такі значення \(x\), при яких функція втрачає всякий зміст. "Втрачає зміст" - тут означає, що з таким "іксом" просто неможливо виконати якусь математичну дію. Так, наприклад, для функції \(y=\frac{3}{x-2}\), неприпустимим значенням аргументу є число \(2\). Справді, підставляючи у вираз замість ікса число \(2\), отримаємо, що \[y(2)=\frac{3}{2-2}=\frac{3}{0}.\]  А на нуль ділити не можна. Ми отримали безглуздий вираз. Отже, аргумент даної функції не може набувати значення \(x=2\). Говорять, що функція \(y=\frac{3}{x-2}\)  є не визначеною для \(x=2\).

Всі інші числа можуть бути значеннями аргументу. Якраз вони і утворюють область визначення функції.

Область визначення функції позначають \(D\). Для розглянутого вище прикладу маємо, що число \(2\) є недопустимим значенням аргументу. Тому область визначення функції – всі числа крім \(2\). Проміжком це можна записати так: \(D=(-\infty; 2)\cup(2; +\infty) \).

2.2  Як знаходити область визначення 

Розв'язувати завдання на знаходження області визначення функції не так уже і важко. Такі задачі дуже подібні до знаходження ОДЗ (області допустимих значень) для рівнянь і нерівностей.

Розглянемо окремі випадки, як знаходити область визначення функції в залежності від того, яким виразом задана її формула. Основне, що треба пам'ятати: 

1. Вираз у знаменнику дробу не може дорівнювати нулю (бо на нуль ділити не можна);
2. Вираз під знаком квадратного кореня не може бути від’ємним. 

Отже, розглянемо ключові моменти , що виникають при знаходженні області визначення функції:

Функція задана многочленом (немає ділення на \(x\) і іксів під коренем)

Якщо функцію задано виразом, який є многочленом, то вона визначена для всіх дійсних чисел.

Наприклад  \(y=3x^4-2x+5\).

У цьому випадку область визначення — всі дійсні числа. \(D=(-\infty; +\infty)\).

Функція задана дробово-раціональним виразом (є змінна \(x\) в знаменнику)

Наприклад \(y=\frac{3x+1}{2-x}\).

Тут маємо ікса, що входить до виразу в знаменнику дробу. Оскільки риска дробу позначає дію ділення, то для таких функцій вступає в силу правило "на нуль ділити  не модно  не можна".

Область визначення таких функцій шукаємо так:

1. Прирівнюємо знаменник до нуля. 
   У нашому прикладі пишемо \(2-x=0\).
2. Розв'язуємо отримане рівняння. 
   У нас \(x=2\)
3. Записуємо відповідь, виключивши отриманий корінь із проміжку \((-\infty; +\infty)\). 
   У нашому прикладі: \(D=(-\infty; 2)\cup(2; +\infty)\).

Функція містить змінну \(x\) під знаком кореня

Наприклад \(y=\sqrt{3-x}\).

Тут час пригадати, що серед дійсних чисел корінь з від'ємного числа не добувається. Тобто, вираз під знаком кореня не може бути від'ємним. Тому треба переписати підкореневий вираз і покласти його \(\geqslant 0\).

У нашому прикладі  рівняння функції \(y=\sqrt{3-x}.\) Це означає, що \(3-x \geqslant 0 \).

Розв'язок отриманої нерівності і дає нам область визначення функції.

\(D=(-\infty; 3]\)

Коли корінь знаходиться у знаменнику, слід врахувати і те, що на нуль ділити не можна.

Наприклад:

\(y=\frac{3-x}{\sqrt{5-x}}\)

враховуємо, що корінь — у знаменнику, тому \(5-x>0\)  (ставимо знак "строго більше", щоб не отримати нуля у знаменнику).

\(D=(-\infty; 5).\)

Функція містить змінну \(x\) і під знаком кореня, і під рискою дробу

Наприклад: \(y=\frac{5-\sqrt{7-x}}{2x-10}\)

Шукаючи область визначення таких функцій, слід враховувати обидва випадки: 1) виключаємо ті "ікси", при яких знаменник перетвориться на нуль; 2) розв'язуємо нерівність, яку отримали, записавши що вираз під знаком кореня більший або дорівнює нулю.

Для функції \(y=\frac{5-\sqrt{7-x}}{2x-10}\) маємо:

1) Записуємо, що вираз під коренем невід'ємний:

\(7-x \geqslant 0;\)

\(-x \geqslant -7;\)

\(x \leqslant 7.\)

Розв'язком цієї нерівності є проміжок \((-\infty; \text{ }7].\)

2) Шукаємо \(x\), при якому знаменник перетворюється на нуль:

\(2x-10=0;\)

\(2x=10;\)

\(x=5.\)

Щоб вказати відповідь, виключаємо \(x=5\) з проміжку \((-\infty; \text{ }7]:\)

\(D=(-\infty; 5)\cup(5; 7].\)

Ще складніший випадок (рівень «Джедай» :) )

Розглянемо ще один приклад. 

Знайти область визначення функції \(y=\sqrt{7-4x}+\frac{3+2x}{5\sqrt{21+7x}}.\)

Розв'язання:

\[y=\sqrt{7-4x}+\frac{3+2x}{5\sqrt{21+7x}}\]

Рівняння даної функції містить два корені, при чому другий корінь знаходиться у знаменнику дробу. Для кожного із підкореневих виразів запишемо відповідну нерівність: \(7-4x \geqslant 0\) і \(21+7x > 0\). Для першого — нестрогу, для другого — строгу (бо якщо він дорівнюватиме нулю, то знаменник дробу теж буде нулем). Оскільки обидві нерівності мають виконуватися одночасно, об'єднаємо їх у систему: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}c}{7 - 4x \geqslant 0,} \hfill \\{21 + 7x > 0;} \hfill \\\end{array}} \right.\] Розв'яжемо цю систему:\[\left\{ {\begin{array}{*{20}c}{- 4x \geqslant -7,} \hfill \\{7x > -21;} \hfill \\\end{array}} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}c}{x \leqslant 1{,}75,} \hfill \\{x > -3.} \hfill \\\end{array}} \right.\]

Покажемо розв'язок системи на числовій прямій:

За даним малюнком запишемо відповідь: \(D=(-3; \text{ }1{,}75].\)

Щоб закріпити знання про область визначення функції та отримати практичні навички, пройдіть тренувальне тестування з цієї теми.

< Попередня тема      Наступна тема >   

↑До змісту