Властивості рівнянь
Раніше ми розв'язували рівняння, використовуючи властивості арифметичних дій та правила знаходження невідомих компонентів цих дій. Але не всі рівняння можна розв'язати у такий спосіб.
Наприклад, розглянемо таке рівняння: \[3x+5=7-6x.\]
У даному випадку змінна \(x\) є компонентом дії у лівій частині, та одночасно, компонентом зовсім іншої дії у правій частині рівняння.
Тут ми розглянемо властивості рівнянь, які дозволять нам розв'язувати і такі випадки
Додавання і віднімання числа у частинах рівняння
Спершу згадаємо, що рівняння має дві частини, між якими знаходиться знак "дорівнює". Це означає, що числові значення лівої та правої частин — однакові. Запишемо це як \[a=b.\]Тому, якщо до лівої частини додати якесь число, і до правої частини додати те саме число, то все одно отримаємо дві рівні частини: \[a+\color{#1e90ff}{c}=b+\color{#1e90ff}{c}.\] Якщо будемо віднімати від обох частин рівняння одне й те саме число, то отримаємо аналогічний результат: \[a-\color{#1e90ff}{c}=b-\color{#1e90ff}{c}.\]
Таким чином, можемо сформулювати властивість рівняння:
Переконаємось у справедливості цієї властивості на прикладі:
Приклад 1
Розв'язати рівняння: \(3x-17=16\).
Розв'язання:
Перший спосіб (за властивостями дій)
Знаходимо невідоме зменшувальне \(3x\):
\(3x=16+17\),
\(3x=33\),
Невідомий множник
\(x=33:3\),
\(x=11\).
Другий спосіб
Додамо до обох частин рівняння \(\color{#1e90ff}{17}\):
\(3x-17+\color{#1e90ff}{17}=16+\color{#1e90ff}{17}\),
виконаємо додавання: \( \left(-17+\color{#1e90ff}{17}=0 \; \textit{та}\; 16+\color{#1e90ff}{17}=33\right) \). Наше рівняння набуде вигляду:
\(3x=33\),
звідки, як і в першому способі,
\(x=11\).
Відповідь: \(11\).
В обох випадках отримали однаковий корінь рівняння, в чому і мали переконатися.
Множення і ділення частин рівняння на одне й те саме число
Для нас є зрозумілим і таке твердження: якщо два однакових числа збільшити або зменшити в однакову кількість разів, то отримаємо знову рівні числа. Математично можна записати так:
Якщо \(a=b\), то \[a\cdot\color{#1e90ff}{c}=b\cdot\color{#1e90ff}{c}\,,\] \[a:\color{#1e90ff}{c}=b:\color{#1e90ff}{c}\,,\quad (c\ne 0)\]
Маємо наступну властивість
Якщо обидві частини рівняння помножити або поділити на одне й те саме (відмінне від нуля) число, то отримаємо рівняння, що має такі самі корені, що й дане.
Цю властивість зручно використовувати, щоб позбутися дробового множника біля невідомого. Покажемо це на прикладі
Приклад 2
Розв'язати рівняння: \(\frac{1}{8}y-3=\frac{3}{4}\).
Розв'язання:
Помножимо ліву і праву частини на \(8\):
\(\color{#008000}{8} \cdot\left(\frac{1}{8}y-3\right)=\color{#008000}{8}\cdot\frac{3}{4}\),
виконуємо множення у лівій частині: \(\color{#008000}{8}
\cdot\left(\frac{1}{8}y-3\right)=\)
\(=\color{#008000}{8} \cdot \frac{1}{8}y -\color{#008000}{8}
\cdot 3=y-24\),
та у правій:
\(\color{#008000}{8} \cdot \frac{3}{4}=\frac{\color{#008000}{8} \cdot 3}{4}=6\).
Тепер наше рівняння запишеться:
\(y-24=6\),
\(y=30\).
Відповідь: \(30\).
Або, навіть так:
Приклад 3
Розв'язати рівняння: \(\frac{13x}{21}+\frac{9x}{14}=-1\)
Розв'язання:
У даному рівнянні маємо два дроби зі знаменниками \(21\) та \(14\). Щоб позбутися цих знаменників, помножимо обидві частини рівняння на їх найменше спільне кратне \(\text{НСК}\left(21,\,14\right)=42\):
\(\color{#008000}{42}\cdot\frac{13x}{21}+\color{#008000}{42}\cdot\frac{9x}{14}=-1\cdot\color{#008000}{42}\).
Після скорочення у лівій частині та множення у правій, маємо:
\(\color{#008000}{2}\cdot13x+\color{#008000}{3}\cdot9x=-42\),
\(26x+27x=-42\),
\(53x=-42\),
\(x=-\frac{42}{53}\).
Зауваження: це саме рівняння можна було розв'язати, виконавши вперед додавання дробів
Відповідь: \(-\frac{42}{53}\).
Перенесення доданків з однієї частини рівняння до іншої
Давайте повернемося до рівняння, яке розглядали на самому початку нашого уроку: \[3x+5=7-6x.\]
Нам "заважає" його розв'язати те, що змінна \(x\) присутня в обох частинах. А чи можна зробити так, щоб \(x\) знаходився тільки в одній частині рівняння? Виявляється — можна!
Будь-який доданок рівняння можна перенести з однієї частини до іншої, змінивши його знак на протилежний.
Таким чином, ми можемо перенести доданок \(-6x\) із правої частини до лівої, змінивши його знак. Тобто, він буде записаний у лівій частині як \(+6x\). Те саме можемо зробити із доданком \(5\) — перенесемо його до правої частини зі знаком "мінус". У результаті отримаємо: \[3x+6x=7-5.\] А таке рівняння нам розв'язати зовсім не складно: \[9x=2,\] \[x=\frac{2}{9}\].
На практиці, при розв'язуванні рівнянь, користуються таким правилом:
Всі доданки, що містять невідоме, переносять до лівої частини, а всі доданки без невідомого — до правої. Не забуваємо міняти знаки!
Користуючись цим правилом, спробуйте самостійно виконати наступне завдання. Щоб перевірити себе, натисніть кнопку "Показати відповідь"
Завдання 1.
Розв'язати рівняння: \(16-18x=-25x-12\)
Якщо до обох частин рівняння додати (або від обох частин відняти) одне й те саме число, то отримаємо рівняння, що має такі самі корені, що й дане.